(aus: M. Vitruvii De Architectura, Venedig 1511)

Die Krone (corona) dürfte ein Kranz gewesen sein, wie er in Mazedonischen Gräbern gefunden wurde:

Die bei Vitruv beschriebene Methode dürfte mit der damaligen Meßgenauigkeit schwer durchzuführen gewesen sein:

Der größte bekannte goldene Kranz aus der Zeit des Archimedes hat einen Durchmesser von 18,5 cm und eine Masse von 714 g, obwohl einige Blätter fehlen. Zur Abschätzung nehmen wir an, der Kranz des Hiero habe eine Masse von 1000 g, der Wasserbehälter habe eine kreisförmige Öffnung mit 20 cm Durchmesser, damit einer Querschnittsfläche von 314 cm².

Da Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³ besitzt, ist das Volumen von 1000 g Gold 1000/19,3, also 51,8 cm³. Diese Menge Gold würde den Wasserspiegel in der Öffnung des Gefäßes um 51,8/314 cm = 0,165 cm steigen lassen.

Nehmen wir weiter an, der unehrliche Goldschmied habe 30% (300 g) des Goldes im Kranz durch Silber ersetzt. Silber hat eine Dichte von 10,6 g/cm³, damit besitzt die Gold-Silber-Krone ein Volumen von 700/19,3 cm³ + 300/10,6 cm³ = 64,6 cm³. Diese Krone würde den Wasserspiegel in der Gefäßöffnung um 64,6/314 cm = 0,206 cm steigen lassen.

Der Unterschied in der Höhe des Wasserspiegels bei Verdrängung durch den Kranz und durch reines Gold beträgt also 0,206 cm - 0,165 cm, oder 0,41 mm. Diese Differenz ist viel zu klein, um sie direkt zu beobachten oder durch das überlaufende Wasser zu messen, wenn man die möglichen Fehlerquellen berücksichtigt:
Oberflächenspannung, am Gold anhaftendes Wasser beim Herausziehen, Luftblasen, die am Kranz hängen bleiben usw.
Zusätzlich wäre die Änderung des Wasserspiegels geringer als 0,41 mm, wenn der Kranz eine geringere Masse als 1000 g hätte oder der Durchmesser der Gefäßöffnung größer als 20 cm wäre oder weniger als 30% des Goldes durch Silber ersetzt wären.

Eher durchzuführen wäre die Methode, die das Auftriebsgesetz und das Hebelgesetz von Archimedes benutzt. Dies ist die Methode, die in den meisten Physikbüchern beschrieben wird:
Man hängt den Kranz an das eine Ende des Waagbalkens und bringt ihn mit einer gleich großen Masse Gold am anderen Ende ins Gleichgewicht. Dann taucht man sowohl den Kranz als auch das Gold in einen (oder auch zwei verschidene) Wasserbehälter. Wenn die Waage im Gleichgewicht bleibt, haben Kranz und Gold das gleiche Volumen und damit besitzt der Kranz die gleiche Dichte wie reines Gold. Wenn sich die Waage aber auf die Seite des Goldes neigt, dann hat der Kranz ein größeres Volumen als das Gold, damit ist seine Dichte geringer als die des Goldes. Somit muß der Kranz aus einer Legierung von Gold und leichterem Material bestehen.

Zur Überprüfung der Durchführbarkeit dieser Methode nehmen wir wieder einen Kranz aus 70% Gold und 30% Silber mit einer Gesamtmasse von 1000 g an. Da sein Volumen 64,6 cm³ beträgt, verdrängt er 64,6 g Wasser (Wasser besitzt eine Dichte von 1 g/cm³). Damit wirkt auf den Waagbalken die Gewichtskraft einer Masse von 1000g - 64,6 g = 935,4 g. Die 1000 g reines Gold besitzen ein Volumen von 51,8 cm³, damit wirkt auf der anderen Seite des Waagbalkens die Gewichtskraft einer Masse von 1000 g - 51,8 g = 948,2 g. Somit hätte die Waage einen Massenunterschied von 948,2 g - 935,4 g = 12,8 g nachzuweisen. Dies war mit Waagen zur Zeit des Archimedes leicht möglich. Außerdem entfallen einige Fehlerquellen der bei Vitruv beschriebenen Methode (Oberflächenspannung, anhaftendes Wasser - allerdings das Problem eingeschlossener Luftblasen bleibt).

Zusammenfassender Vergleich der beiden Methoden:

Unter unserer Annahme (1000 g Kranz, bestehend aus 700 g Gold und 300 g Silber) ist die Volumendifferenz zwischen dem Kranz und 1000 g reinem Gold 12,8 cm³.
Virtuvs Methode versucht diese Volumendifferenz zu bestimmen durch Bestimmung eines gleich großen Volumens verdrängten Wassers. 12,8 cm³ Wasser bilden einen Würfel mit 2,34 cm Kantenlänge, den man in dieser Form leicht nachweisen könnte. Wenn aber 12,8 cm³   Wasser über die Öffnung eines Gefäßes verteilt werden, die groß genug ist für den Kranz (in unsererm Beispiel 314 cm²), führt dies zu einer Erhöhung des Wasserspiegels um nur 0,41 mm. So eine geringe Veränderung kann durch direkte Beobachtung oder durch Wasserüberlauf nicht genau genug gemessen werden.
Die Methode mit der Balkenwaage übersetzt die Volumendifferenz von 12,8 cm³ in eine Massendifferenz von 12,8 g, die mit antiken Waagen leicht bestimmt werden konnte.

Also haben doch die Physikbücher Recht!?

Aber wie kommt dann Vitruv auf seine Erzählung??

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